limites continuidad y discontinuidad

Limites continuidad y discontinuidad

Una función es discontinua en un punto, x = a, si:

1.El punto, x = a, no tiene imagen.

La función es discontinua en x = 2 porque no existe imagen.

2. Que no exista el límite de la función en el punto x = a.

La función es discontinua en x = 2 porque no tiene límite.

3. Que la imagen del punto no coincida con el límite de la función en el punto.

La función es discontinua porque en x = 2 no coincide la imagen con el límite.

Tipos de discontinuidad

Existen tres tipos de discontinuidad:

1. Discontinuidad evitable

Una discontinuidad es evitable en un punto x = a si existe y éste es finito.

Nos encontramos con dos tipos de discontinuidad evitable:

1. La función no está definida en x = a.

2. La imagen no coincide con el límite.

Cuando una función presenta una discontinuidad evitable en un punto se puede redefinir en dicho punto para convertirla en una función continua.

La dos funciones estudiadas anteriormente las redefinimos de modo que:

2. Discontinuidad inevitable

Una discontinuidad es inevitable o de primera especie si existen los límites laterales en x = a, pero son distintos.

Salto

Salto es la diferencia en valor absoluto de los límites laterales.

Según el tipo de salto nos encontramos con dos tipos de discontinuidad inevitable:

1. Discontinuidad inevitable de salto finito

La diferencia entre los límites laterales es un número real.

En x = 2 hay una discontinuidad inevitable de salto finito 3.

2. Discontinuidad inevitable de salto infinito

La diferencia entre los límites laterales es infinito.

En x = 2 hay una discontinuidad inevitable de salto infinito.

3. Discontinuidad esencial

Una discontinuidad es esencial o de segunda especie si no existe alguno de los límites laterales en x = a.

En x = 2 hay una discontinuidad esencial porque no tiene límite por la derecha.

En x = 2 hay una discontinuidad esencial porque no tiene límite por la izquierda.

Continuidad

f(x)=x2

Intuitivamente, la continuidad significa que un pequeño cambio en la variable x implica sólo un pequeño cambio en el valor de f(x), es decir, la gráfica consiste de un sólo trozo de curva.

f(x)=sgn x

En contraste, una gráfica como la de la función f(x) = sgn x (signo de x) que consiste de pedazos de curva separados por un vacío en una abcisa exhibe allí una discontinuidad.
La continuidad de la función f(x) para un valor a significa que f(x) difiere arbitrariamente poco del valor f(a) cuando x está suficientemente cerca de a.

Expresemos esto en términos del concepto de límite...

Definición

Continuidad

Una función f(x) es continua en un punto a si lim_x->af(x) = f(a).

Nota: observar que debe existir f(a) y debe existir el lim_x->a f(x) y debe ser igual a f(a).

Ejemplos de discontinuidad

f(x)= 1/x2 Discontinua en x=0 (No existe f(0))

f(x) = x2 si x <= 2         2x - 4 si x > 2 Discontinua en x=2. Si bien existe f(2), no existe limx->2f(x), pues limx->2-f(x)=4 y limx->2+f(x)=0

Sin embargo, si miramos la función para x próximos a 2 pero menores, e ignoramos los x mayores que 2, la función es continua en 2 "por la izquierda".

Definición

Continuidad por la izquierda

Una función f(x) es continua por la izquierda en el punto a si existe f(a) y lim_x->a-f(x) = f(a).

Definición

Continuidad por la derecha

Una función f(x) es continua por la derecha en el punto a si existe f(a) y lim_x->a+f(x) = f(a).

La función anterior es continua por la izquierda en x=2, pero no por la derecha.

Definición

Continuidad en un intervalo cerrado [a,b]

Una función f(x) es continua en un intervalo cerrado [a,b] si:
f es continua en a por la derecha
f es continua en b por la izquierda
f es continua en x, para todo x perteneciente al intervalo abierto (a,b)

Clasificación de discontinuidades

Evitable

Caso A:

No existe f(a) pero existe lim_x->af(x).

Ejemplo:

f(x)= e-1/x2 + 2

No existe f(0) pues anula un denominador.
lim_x->0-f(x) = lim_x->0+f(x) = 2 o sea lim_x->0f(x)=2
Podemos extender la definición de la función, asignándole en el punto a el valor del límite, con lo cual la función se torna continua. Por ello este tipo de discontinuidad se denomina evitable.

Caso B:

Existe f(a) y existe lim_x->af(x)=b pero b≠f(a).
(Existe f(a) pero es distinto al valor del límite).

Ejemplo:

f(x) = x2 si x≠2         8 si x=2

f(2) = 8
lim_x->2 f(x) = 4
Asignándole a la función el valor 4 en x=2, se elimina la discontinuidad.

No evitable

1ª especie:

lim_x->a-f(x) ≠ lim_x->a+f(x).
(Los límites laterales son distintos).

Ejemplo:

f(x) = x/(x - 2)

lim_x->2-f(x) = -inf
lim_x->2+f(x) = +inf

2ª especie:

No existe lim_x->a-f(x) o no existe lim_x->a+f(x).
(No existe por lo menos uno de los límites laterales).

Ejemplo:

______ f(x) = \|x2 - 4

En x=-2 y x=2 la función presenta discontinuidades no evitables de 2ª especie. No existe lim_x->-2+f(x) y no existe lim_x->2-f(x).

Operaciones con funciones continuas

Si f y g son funciones continuas en x=a, la suma, multiplicación y cociente de f y g (con g(a) ≠ 0) son funciones continuas en x=a.

H) f(x) es continua en x=a.
    g(x) es continua en x=a.
T) f(x) + g(x) es continua en x=a.

Demostración Por definición de continuidad,
existe f(a) y existe lim_x->af(x) = f(a)
existe g(a) y existe lim_x->ag(x) = g(a)
=> por teo. límite de la suma de funciones, el límite de una suma de funciones es igual a la suma de los límites de cada función, si éstos son finitos.
lim_x->a f(x) + g(x) = f(a) + g(a)
=> por def. de continuidad f(x) + g(x) es continua en x=a.
Análogamente se prueba la continuidad del producto y el cociente.

Teorema

Continuidad de la función compuesta

H) f es continua en x=a.
    g es continua en x=f(a).
T) g o f es continua en x=a.

Demostración:
Queremos demostrar que lim_x->a g[f(x)]=g[f(a)], o sea, por definición de límite, queremos probar que, dado ε>0 existe δ>0 tal que para todo x perteneciente al E^*_a,δ g[f(x)] perteneciente al E_g[f(a)],ε.
Por hipótesis g es continua en f(a) => por def. de continuidad lim_x->f(a) g(x)=g[f(a)] => por def. de límite, dado ε>0 existe δ>0 tal que...

para todo x perteneciente al E^*_f(a),δ g(x) pertenece al E_g[f(a)],ε   (1)

Por hipótesis f es continua en a => por def. de continuidad lim_x->af(x) = f(a), es decir que (por def. de límite) si tomamos el número δ de (1), existe α>0 tal que...

para todo x perteneciente al E^*_a,α f(x) pertenece al E_f(a),δ   (2)

De (1) y (2) se deduce que:
Dado ε>0 existe α>0 / para todo x perteneciente al E^*_a,α g[f(x)] pertenece al E_g[f(a)],ε.









Fuente Continuidad y discontinuidad